História da Matemática

terça-feira, setembro 05, 2006

Apresentação do Blog

Este Blog foi desenvolvido como atividade de pesquisa acadêmica, na disciplina de Informática Aplicada, no curso de Engenharia Ambiental, em 2006/2, na Universidade de Santa Cruz do Sul.
O conteúdo escolhido deve-se ao fato de a acadêmica desenvolvedora ser formanda do Curso de Matemática-Licenciatura Plena.
Desenvolvedor:
Acad.: Carina Matos de Souza

Santa Cruz do Sul, 24 de agosto de 2006.

Eu, Meus Afilhados, Meus Questionamentos...

Na última sexta-feira estava indo para a aula e pensando em como começaria este blog, qual seria o primeiro texto? Pensei e tornei a pensar...
Como por passe de mágica me veio a lembrança de meu afilhado, Guilherme me dizendo quantos aninhos estava fazendo no dia de seu aniversário, dois dias antes.
Cheguei à casa de minha tia, dei parabéns a ele e perguntei: “Gui, quantos aninhos o nenê tá fazendo?” Mais do que pronto ele me mostrou quatro dedinhos da mão direita com uma carinha de felicidade. Então tornei a perguntar: “E quantos aninhos é isso?” Ele rapidamente e com muita certeza me respondeu: “Cinco, dinda!”. Eu e meu marido começamos a rir e eu disse a ele que tinha mostrado para nós quatro aninhos e não cinco, mas ele convencido de estava certo respondeu: “Não dinda, isso é cinco!”.
Na sexta, quando voltei da aula e fui ver o Gui, porém, ele tinha mudado de opinião, agora mostrava dois dedos da mão direita e dizia: “Dinda, eu to ‘fazeno’ dois aninhos!”.
A atitude do Gui me fez questionar como uma criança de quatro anos sabe ou não quantos dedos está mostrando a um adulto. Então me lembrei de outro afilhado meu, Hiago, com 13 anos é uma criança com facilidade para compreender diversos assuntos e raciocínio muito mais rápido que a maioria dos adolescentes de sua idade.
Pensando nisso me veio à lembrança os primeiros anos de vida do Hiago, ele nasceu quando eu tinha 12 anos apenas, e quando ele estava aprendendo a falar, sua brincadeira preferida era contar (diferente do Gui), no começo eu dizia 1, ele respondia 2, quando eu dizia 3 ele seguia dizendo qualquer seqüência de números que pudesse pronunciar. Mas quando estava com uns dois anos já contava até 10 sem ninguém precisar corrigi-lo e da mesma forma com as letras do alfabeto.
Comparando o desenvolvimento cognitivo dos dois na primeira infância me questionei em qual seria a diferença, pois ainda que o Gui não tenha idade escolar, o desenvolvimento de linguagem e expressão dele é muito diferente do Hiago com essa idade, e pensei que talvez fosse justamente o fato da intensidade no incentivo com os números, pois a maioria dos pais começa a incentivar os filhos depois que eles já estão sendo alfabetizados, diferente do Hiago, que de todas as crianças que conheço é o único assim.
Por exemplo, hoje, já na era da informática, ele aprende coisas no computador duas, três vezes mais rápido que eu, que tenho o dobro de sua idade e estou terminando a graduação. Lógico que igual ao Hiago existem milhares de crianças, algumas até com mais facilidade em aprender que ele...
Esse assunto me rendeu tantas dúvidas que acabei lembrando em como aprendi a gostar de números, lembro-me de quando tinha mais ou menos cinco anos e meu avô, um senhor analfabeto que não sabia nem assinar seu próprio nome, me ensinava a somar e subtrair brincando com os números, minha brincadeira favorita – diferente da maioria das crianças da minha idade – era que minha mãe passasse continhas pra que meu avô me ajudasse a fazer.
Meu Avô fez um trabalho tão bem feito que minhas professoras se admiravam de como eu resolvia os cálculos tão rápido, e de como uma criança tão pequena conseguia inventar maneiras de verificar se as respostas dos cálculos estavam certas (o Vô e minha mãe me ensinavam truques interessantíssimos).
Levando tudo isso em conta pensei se o fato de os números terem sido incorporados tão cedo ao meu cotidiano e ao do Hiago, não seria o motivo de fazermos parte desse minúsculo grupo de pessoas que não odeia e teme tanto a matemática, lógico que sempre se leva em conta, nesses casos, os fatores genéticos. Mas como se explica um filho que nasce de um casal sem habilidades na área das exatas, e ainda assim desenvolve habilidades em matemática, física ou computação de maneira absurdamente maior que outras crianças?

Outro exemplo que me chama atenção é a Kailane, sobrinha do Hiago, filha do meu primo com a mesma idade que eu, tem dois anos, e uma memória de dar inveja a muito adulto, já sabe contar, adora que os meus primos pequenos brinquem de se esconder para que ela possa contar para eles, sabe cantar inúmeras músicas que para sua idade são demasiadamente difíceis, e por incrível que pareça, sabe quantos dedos está mostrando aos outros. Mas, logicamente terei que esperar a Kailane crescer para ver como ele irá desenvolver suas habilidades com os números.
Claro, que para alguém ter excelente raciocínio ou habilidades com questões exatas é preciso que se some a sua vida, não só o incentivo quando criança, mas fatores como: ensino-aprendizagem em sala de aula, bons professores, etc.
Diante de tudo isso resolvi que esse será assunto de pesquisa para mim daqui para frente. O Hiago, a princípio, ficou desconfiado quando disse que o primeiro texto deste blog seria baseado nele, mas depois que expliquei, ele achou muito interessante ser estímulo para uma pesquisa.
Para terminar minha breve história sobre essa experiência gostaria que você que lesse esse texto enviasse sua opinião para mim, meu e-mail é carina1@mx2.unisc.br .

Como Surgiu o Número?

Alguma vez você parou para pensar nisso? Certamente você já imaginou que um dia alguém teve uma idéia genial e de repente inventou o número. Mas não foi bem assim.

A descoberta do número não aconteceu de repente, nem foi uma única pessoa a responsável por essa façanha. O número surgiu da necessidade que as pessoas tinham de contar objetos e coisa.Nos primeiros tempos da humanidade, para contar eram usados os dedos, pedras, os nós de uma corda, marcas num osso...

Com o passar do tempo, este sistema foi se aperfeiçoando até dar origem ao número.
Hoje nós já sabemos lidar com os mais diferentes tipos de números:


De acordo com o site: http://www.upf.tche.br

Contando Objetos Com Outros Objetos

Há mais de 30.000 anos, o homem vivia em pequenos grupos, morando em grutas e cavernas para se esconder dos animais selvagens e proteger-se da chuva e do frio.
Para registrar os animais mortos numa caçada, eles se limitavam a fazer marcas numa vara. Nessa época o homem se alimentava daquilo que a natureza oferecia: caça, frutos, sementes, ovos. Quando descobriu o fogo, apreendeu a cozinhar os alimentos e a proteger-se melhor contra o frio.
A escrita ainda não tinha sido criada. Para contar, o homem fazia riscos num pedaço de madeira ou em ossos de animais.
Um pescador, por exemplo, costumava levar consigo um osso de lobo. A cada peixe que conseguia tirar da água, fazia um risco no osso.

Mais ou menos há 10.000 anos, o homem começou a modificar bastante o seu sistema de vida. Em vez de apenas caçar e coletar frutos e raízes, passou a cultivar algumas plantas e criar animais. Era o início da agricultura, graças à qual aumentava muito a variedade de alimentos de que podia dispor.
E para dedicar-se às atividades de plantar e criar animais, o homem não podia continuar se deslocando de um lugar para outro como antes. Passou então a fixar-se num determinado lugar, geralmente às margens de rios e cavernas e desenvolveu uma nova habilidade: a de construir sua própria moradia.

Começaram a surgir as primeiras comunidades organizadas, com chefe, divisão do trabalho entre as pessoas etc..
Com a lã das ovelhas eram tecidos panos para a roupa. O trabalho de um pastor primitivo era muito simples. De manhã bem cedo, ele levava as ovelhas para pastar. À noite recolhia as ovelhas, guardando-as dentro de um cercado.
Mas como controlar o rebanho? Como Ter certeza de que nenhuma ovelha havia fugido ou sido devorada por algum animal selvagem?
O jeito que o pastor arranjou para controlar o seu rebanho foi contar as ovelhas com pedras. Assim:
Cada ovelha que saía para pastar correspondia a uma pedra. O pastor colocava todas as pedras em um saquinho. No fim do dia, à medida que as ovelhas entravam no cercado, ele ia retirando as pedras do saquinho. Que susto levaria se após todas as ovelhas estarem no cercado, sobrasse alguma pedra!
Esse pastor jamais poderia imaginar que milhares de anos mais tarde, haveria um ramo da Matemática chamado Cálculo, que em latim quer dizer contas com pedras.
Foi contando objetos com outros objetos que a humanidade começou a construir o conceito de número.
Para o homem primitivo o número cinco, por exemplo, sempre estaria ligado a alguma coisa concreta: cinco dedos, cinco peixes, cinco bastões, cinco animais, e assim por diante.
A idéia de contagem estava relacionada com os dedos da mão. Assim, ao contar as ovelhas, o pastor separava as pedras em grupos de cinco. Do mesmo modo os caçadores contavam os animais abatidos, traçando riscos na madeira ou fazendo nós em uma corda, também de cinco em cinco.
Para nós, hoje, o número cinco representa a propriedade comum de infinitas coleções de objetos: representa a quantidade de elementos de um conjunto, não importando se trata de cinco bolas, cinco skates, cinco discos ou cinco aparelhos de som.


De acordo com o site: http://www.upf.tche.br

Construindo o conceito de número

Foi contando objetos com outros objetos que a humanidade começou a construir o conceito de número.
Para o homem primitivo o número cinco, por exemplo, sempre estaria ligado a alguma coisa concreta: cinco dedos, cinco peixes, cinco bastões, cinco animais, e assim por diante.
A idéia de contagem estava relacionada com os dedos da mão.
Assim, ao contar as ovelhas, o pastor separava as pedras em grupos de cinco.
Do mesmo modo os caçadores contavam os animais abatidos, traçando riscos na madeira ou fazendo nós em uma corda, também de cinco em cinco.

Para nós, hoje, o número cinco representa a propriedade comum de infinitas coleções de objetos: representa a quantidade de elementos de um conjunto, não importando se trata de cinco bolas, cinco skates, cinco discos ou cinco aparelhos de som.
É por isso que esse número, que surgiu quando o homem contava objetos usando outros objetos, é um número concreto.

De acordo o site: http://www.upf.tche.br

Os Egípcios Criam os Símbolos

Por volta do ano 4.000 a.C., algumas comunidades primitivas aprenderam a usar ferramentas e armas de bronze. Aldeias situadas às margens de rios transformaram-se em cidades. A vida ia ficando cada vez mais complexa. Novas atividades iam surgindo, graças sobretudo ao desenvolvimento do comércio.
Os agricultores passaram a produzir alimentos em quantidades superiores às suas necessidades. Com isso algumas pessoas puderam se dedicar a outras atividades, tornando-se artesãos, comerciantes, sacerdotes, administradores.

Como conseqüência desse desenvolvimento surgiu a escrita. Era o fim da Pré-História e o começo da História.
Os grandes progressos que marcaram o fim da Pré-História verificaram-se com muita intensidade e rapidez no Egito.
Você certamente já ouviu falar nas pirâmides do Egito.
Para fazer os projetos de construção das pirâmides e dos templos, o número concreto não era nada prático. Ele também não ajudava muito na resolução dos difíceis problemas criados pelo desenvolvimento da indústria e do comércio.
Como efetuar cálculos rápidos e precisos com pedras, nós ou riscos em um osso? Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egito passaram a representar a quantidade de objetos de uma coleção através de desenhos – os símbolos.
A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimento da Matemática. Na Pré-História, o homem juntava 3 bastões com 5 bastões para obter 8 bastões.
Hoje sabemos representar esta operação por meio de símbolos.

3 + 5 = 8

Muitas vezes não sabemos nem que objetos estamos somando. Mas isso não importa: a operação pode ser feita da mesma maneira. Mas como eram os símbolos que os egípcios criaram para representar os números?

De acordo com o site: http://www.upf.tche.br

Contando com os egípcios

Há mais ou menos 3.600 anos, o faraó do Egito tinha um súdito chamado Aahmesu, cujo nome significa “Filho da Lua”.
Aahmesu ocupava na sociedade egípcia uma posição muito mais humilde que a do faraó: provavelmente era um escriba. Hoje Aahmesu é mais conhecido do que muitos faraós e reis do Antigo Egito. Entre os cientistas, ele é chamado de Ahmes. Foi ele quem escreveu o Papiro Ahmes.

O papiro Ahmes é um antigo manual de matemática. Contém 80 problemas, todos resolvido. A maioria envolvendo assuntos do dia-a-dia, como o preço do pão, a armazenagem de grãos de trigo, a alimentação do gado.
Observando e estudando como eram efetuados os cálculos no Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreender o sistema de numeração egípcio. Além disso, a decifração dos hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e monumentos do Egito – no século XVIII também foi muito útil.
O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-chave:


1 10 100 1.000 10.000
1.000.000

Os egípcios usavam símbolos para representar esses números.
Um traço vertical representava 1 unidade:

Um osso de calcanhar invertido representava o número 10: Um laço valia 100 unidades:

Uma flor de lótus valia 1.000:

Um dedo dobrado valia 10.000: Com um girino os egípcios representavam 100.000 unidades:

Uma figura ajoelhada, talvez representando um deus, valia 1.000.000:
Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave.
Na escrita dos números que usamos atualmente, a ordem dos algarismos é muito importante.
Se tomarmos um número, como por exemplo:

256


e trocarmos os algarismos de lugar, vamos obter outros números completamente diferentes:


265 526 562 625 652

Ao escrever os números, os egípcios não se preocupavam com a ordem dos símbolos. Observe no desenho que apesar de a ordem dos símbolos não ser a mesma, os três garotos do Antigo Egito estão escrevendo o mesmo número:

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segunda-feira, setembro 04, 2006

Os papiros da Matemática egípcia

Quase tudo o que sabemos sobre a Matemática dos antigos egípcios se baseia em dois grandes papiros: o Papiro Ahmes e o Papiro de Moscou.
O primeiro foi escrito por volta de 1.650 a.C. e tem aproximadamente 5,5 m de comprimento e 32 cm de largura. Foi comprado em 1.858 por um antiquário escocês chamado Henry Rhind. Por isso é conhecido também como Papiro de Rhind. Atualmente encontra-se no British Museum, de Londres.
O Papiro de Moscou é uma estreita tira de 5,5 m de comprimento por 8 cm de largura, com 25 problemas. Encontra-se atualmente em Moscou. Não se sabe nada sobre o seu autor.

A Técnica de Calcular dos Egípcios

Com a ajuda deste sistema de numeração, os egípcios conseguiam efetuar todos os cálculos que envolviam números inteiros.
Para isso, empregavam uma técnica de cálculo muito especial: todas as operações matemáticas eram efetuadas através de uma adição.
Por exemplo, a multiplicação 13 * 9 indicava que o 9 deveria ser adicionado treze vezes.

13 * 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9

A tabela abaixo ajuda a compreender como os egípcios concluíam a multiplicação:

Nº de Parcelas .................... Resultado
1 ............................................... 9
2 ............................................. 18
4 ............................................. 36
8 .............................................. 72

Eles buscavam na tabela um total de 13 parcelas; era simplesmente a soma das três colunas destacadas:

1 + 4 + 8 = 13

O resultado da multiplicação 13 * 9 era a soma dos resultados desta três colunas:

9 + 36 + 72 = 117

Os egípcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos cálculos com números inteiros.
Mas, em muitos problemas práticos, eles sentiam necessidades de expressar um pedaço de alguma coisa através de um número.
E para isso os números inteiros não serviam.

De acordo com o site: http://upf.tche.br

Descobrindo a Fração

Por volta do ano 3.000 a.C., um antigo faraó de nome Sesóstris...
“... repartiu o solo do Egito às margens do rio Nilo entre seus habitantes.Se o rio levava qualquer parte do lote de um homem, o faraó mandava funcionários examinarem e determinarem por medida
a extensão exata da perda.”
Estas palavras foram escritas pelo historiador grego Heródoto, há cerca de 2.300 anos.
O rio Nilo atravessa uma vasta planície.
Uma vez por ano, na época das cheias, as águas do Nilo sobem muitos metros acima de seu leito normal, inundando uma vasta região ao longo de suas margens. Quando as águas baixam, deixam descobertas uma estreita faixa de terras férteis, prontas para o cultivo.
Desde a Antigüidade, as águas do Nilo fertilizam os campos, beneficiando a agricultura do Egito. Foi nas terras férteis do vale deste rio que se desenvolveu a civilização egípcia.
Cada metro de terra era precioso e tinha de ser muito bem cuidado.
Sesóstris repartiu estas preciosas terras entre uns poucos agricultores privilegiados.
Todos os anos, durante o mês de junho, o nível das águas do Nilo começava a subir. Era o início da inundação, que durava até setembro.
Ao avançar sobre as margens, o rio derrubava as cercas de pedra que cada agricultor usava par marcar os limites do terreno de cada agricultor.
Usavam cordas para fazer a medição. Havia uma unidade de medida assinada na própria corda. As pessoas encarregadas de medir esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Daí, serem conhecidas como estiradores de cordas.
No entanto, por mais adequada que fosse a unidade de medida escolhida, dificilmente cabia um número inteiro de vezes no lados do terreno.
Foi por essa razão que os egípcios criaram um novo tipo de número: o número fracionário.
Para representar os números fracionários, usavam frações.

As complicadas frações egípcias

Os egípcios interpretavam a fração somente como uma parte da unidade. Por isso, utilizavam apenas as frações unitárias, isto é, com numerador igual a 1.
Para escrever as frações unitárias, colocavam um sinal oval alongado sobre o denominador. As outras frações eram expressas através de uma soma de frações de numerador 1.
Os egípcios não colocavam o sinal de adição - + - entre as frações, porque os símbolos das operações ainda não tinham sido inventados.
No sistema de numeração egípcio, os símbolos repetiam-se com muita freqüência. Por isso, tanto os cálculos com números inteiros quanto aqueles que envolviam números fracionários eram muito complicados.
Assim como os egípcios, outros povos também criaram o seu próprio sistema de numeração. Porém, na hora de efetuar os cálculos, em qualquer um dos sistemas empregados, as pessoas sempre esbarravam em alguma dificuldade.
Apenas por volta do século III a.C. começou a se formar um sistema de numeração bem mais prático e eficiente do que os outros criados até então: o sistema de numeração romano.

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Contando com os romanos

De todas as civilizações da Antigüidade, a dos romanos foi sem dúvida a mais importante. Seu centro era a cidade de Roma. Desde sua fundação, em 753 a.C., até ser ocupada por povos estrangeiros em 476 d.C., seus habitantes enfrentaram um número incalculável de guerras de todos os tipos. Inicialmente, para se defenderem dos ataques de povos vizinhos; mais tarde nas campanhas de conquistas de novos territórios.
Foi assim que, pouco a pouco, os romanos foram conquistando a península Itálica e o restante da Europa, além de uma parte da Ásia e o norte de África.
Apesar de a maioria da população viver na miséria, em Roma havia luxo e muita riqueza, usufruídas por uma minoria rica e poderosa. Roupas luxuosas, comidas finas e festas grandiosas faziam parte do dia-a-dia da elite romana.
Foi nesta Roma de miséria e luxo que se desenvolveu e aperfeiçoou o número concreto, que vinha sendo usado desde a época das cavernas. Como foi que os romanos conseguiram isso?


O sistema de numeração romano

Os romanos foram espertos. Eles não inventaram símbolos novos para representar os números; usaram as próprias letras do alfabeto.
I V X L
C D M

Como será que eles combinaram estes símbolos para formar o seu sistema de numeração? O sistema de numeração romano baseava-se em sete números-chave:
I tinha o valor 1.
V valia 5.
X representava 10 unidades.
L indicava 50 unidades.
C valia 100.
D valia 500.
M valia 1.000.
Quando apareciam vários números iguais juntos, os romanos somavam os seus valores.
II = 1 + 1 = 2
XX = 10 + 10 = 20
Quando dois números diferentes vinham juntos, e o menor vinha antes do maior, subtraíam os seus valores.
IV = 4 porque 5 - 1 = 4
IX = 9 porque 10 – 1 = 9
XC = 90 porque 100 – 10 = 90
Mas se o número maior vinha antes do menor, eles somavam os seus valores.
VI = 6 porque 5 + 1 = 6
XXV = 25 porque 20 + 5 = 25
XXXVI = 36 porque 30 + 5 + 1 = 36
LX = 60 porque 50 + 10 = 60
Ao lermos o cartaz, ficamos sabendo que o exercíto de Roma fez numa certa época MCDV prisioneiros de guerra. Para ler um número como MCDV, veja os cálculos que os romanos faziam:
Em primeiro lugar buscavam a letra de maior valor.
M = 1.000
Como antes de M não tinha nenhuma letra, buscavam a segunda letra de maior valor.
D = 500
Depois tiravam de D o valor da letra que vem antes.
D – C = 500 – 100 = 400
Somavam 400 ao valor de M, porque CD está depois e M.
M + CD = 1.000 + 400 = 1.400
Sobrava apenas o V. Então:
MCDV = 1.400 + 5= 1.405

Os milhares

Como você acabou de ver, o número 1.000 era representado pela letra M.
Assim, MM correspondiam a 2.000 e MMM a 3.000.E os números maiores que 3.000?
Para escrever 4.000 ou números maiores que ele, os romanos usavam um traço horizontal sobre as letras que representavam esses números.
Um traço multiplicava o número representado abaixo dele por 1.000.
Dois traços sobre o M davam-lhe o valor de 1 milhão.
O sistema de numeração romano foi adotado por muitos povos. Mas ainda era difícil efetuar cálculos com este sistema.
Por isso, matemáticos de todo o mundo continuaram a procurar intensamente símbolos mais simples e mais apropriados para representar os números.
E como resultado dessas pesquisas, aconteceu na Índia uma das mais notáveis invenções de toda a história da Matemática: O sistema de numeração decimal.

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Afinal os nossos números

No século VI foram fundados na Síria alguns centros de cultura grega. Consistiam numa espécie de clube onde os sócios se reuniam para discutir exclusivamente a arte e a cultura vindas da Grécia.
Ao participar de uma conferência num destes clubes, em 662, o bispo sírio Severus Sebokt, profundamente irritado com o fato de as pessoas elogiarem qualquer coisa vinda dos gregos, explodiu dizendo:

“Existem outros povos que também sabem alguma coisa!
Os hindus, por exemplo, têm valiosos métodos de cálculos.
São métodos fantásticos! E imaginem que os cálculos
são feitos por apenas nove sinais!”.
A referência a nove, e não dez símbolos, significa que o passo mais importante dado pelos hindus para formar o seu sistema de numeração – a invenção do zero - ainda não tinha chegado ao Ocidente.
A idéia dos hindus de introduzir uma notação para uma posição vazia – um ovo de ganso, redondo – ocorreu na Índia, no fim do século VI. Mas foram necessários muitos séculos para que esse símbolo chegasse à Europa.
Com a introdução do décimo sinal – o zero – o sistema de numeração tal qual o conhecemos hoje estava completo.
Até chegar aos números que você aprendeu a ler e escrever, os símbolos criados pelos hindus mudaram bastante.
Hoje, estes símbolos são chamados de algarismos indo-arábicos.
Se foram os matemáticos hindus que inventaram o nosso sistema de numeração, o que os árabes têm a ver com isso?
E por que os símbolos

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

são chamados de algarismos?

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Os Árabes Divulgam ao Mundo os Números Hindus

Simbad, o marujo, Aladim e sua lâmpada maravilhosa, Harum al-Raschid são nomes familiares para quem conhece os contos de As mil e uma noites. Mas Simbad e Aladim são apenas personagens do livro, Harum al-Raschid realmente existiu. Foi o califa de Bagdá, do ano 786 até 809.
Durante o seu reinado os povos árabes travaram uma séria de guerras de conquista. E como prêmios de guerra, livros de diversos centros científicos foram levados para Bagdá e traduzidos para a língua árabe.
Em 809, o califa de Bagdá passou a ser al-Mamum, filho de Harum al-Rahchid.
Al-Mamum era muito vaidoso. Dizia com toda a convicção.
“Não há ninguém mais culto em todos os ramos do saber do que eu”.
Como era um apaixonado da ciência, o califa procurou tornar Bagdá o maior centro científico do mundo, contratando os grandes sábios muçulmanos da época.
Entre eles estava o mais brilhante matemático árabe de todos os tempos: al-Khowarizmi.
Estudando os livros de Matemática vindos da Índia e traduzidos para a língua árabe, al-Khowarizmi surpreendeu-se a princípio com aqueles estranhos símbolos que incluíam um ovo de ganso!
Logo, al-Khowarizmi compreendeu o tesouro que os matemáticos hindus haviam descobertos. Com aquele sistema de numeração, todos os cálculos seriam feitos de um modo mais rápido e seguro. Era impossível imaginar a enorme importância que essa descoberta teria para o desenvolvimento da Matemática.
Al-Khowarizmi decidiu contar ao mundo as boas nova. Escreveu um livro chamado Sobre a arte hindu de calcular, explicando com detalhes como funcionavam os dez símbolos hindus.
Com o livro de al-Khowarizmi, matemáticos do mundo todo tomaram conhecimento do sistema de numeração hindu.
Os símbolos – 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – ficaram conhecidos como a notação de al-Khowarizmi, de onde se originou o termo latino algorismus. Daí o nome algarismo.
São estes números criados pelos matemáticos da Índia e divulgados para outros povos pelo árabe al-Khowarizmi que constituem o nosso sistema de numeração decimal conhecidos como algarismo indo-arábicos.

De acordo com o site: http://upf.tche.br

Os números racionais

Com o sistema de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer número, por maior que ele fosse.
0 13 35 98 1.024 3.645.872
Como estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, eles são chamados de números naturais.
Os números naturais simplificaram muito o trabalho com números fracionários. Não havia mais necessidade de escrever um número fracionário por meio de uma adição de dois fracionários, como faziam os matemáticos egípcios.
O número fracionário passou a ser escrito como uma razão de dois números naturais.
A palavra razão em matemática significa divisão. Portanto, os números inteiros e os números fracionários podem ser expressos como uma razão de dois números naturais. Por isso, são chamados de números racionais.
A descoberta de números racionais foi um grande passo para o desenvolvimento da Matemática.

De acordo com o site: http://upf.tche.br

Número Concreto

Há mais de 30000 anos, o homem vivia em pequenos grupos, morando em grutas e cavernas para se esconder dos animais selvagens e proteger-se da chuva e do frio. Os caçadores para registrar os animais mortos numa caçada eles se limitavam a fazer marcas numa vara.
Quando descobriu o fogo, aprendeu a cozinhar os alimentos e a proteger-se melhor contra o frio.
A escrita ainda não tinha sido criada. Para contar, o homem fazia riscos num pedaço de madeira ou em ossos de animais.
Um pescador, por exemplo, costumava levar consigo um osso de lobo. A cada peixe que conseguia tirar da água, fazia um risco no osso.
Mais ou menos há 10000 anos, o homem começou a modificar bastante o seu sistema de vida. Em vez de apenas caçar e coletar frutos e raízes, passou a cultivar algumas plantas e a criar animais.
E para dedicar-se às atividades de plantar e criar animais, o homem não podia continuar se deslocando de um lugar para outro como antes. Passou então a fixar-se num determinado lugar, geralmente às margens de rios e lagos. Abandonou o hábito de abrigar-se em cavernas e desenvolveu uma nova habilidade: a de construir sua própria moradia.
O trabalho de um pastor primitivo era muito simples. De manhã bem cedo, ele levava as ovelhas para pastar. À noite recolhia as ovelhas, guardando-as dentro de um cercado.
Mas como controlar o rebanho? Como ter certeza de que nenhuma ovelha havia fugido ou sido devorada por algum animal selvagem?
O jeito que o pastor arranjou para controlar seu rebanho foi contar as ovelhas com pedras. Assim: Cada ovelha que saía para pastar correspondia a uma pedra. O pastor colocava todas as pedras em um saquinho. No fim do dia, à medida que as ovelhas entravam no cercado, ele ia retirando as pedras do saquinho. Que susto levaria se após todas as ovelhas estarem no cercado, sobrasse alguma pedra!
Esse pastor jamais poderia imaginar que, milhares de anos mais tarde, haveria um ramo na Matemática chamado cálculo, que em latim quer dizer contas com pedras.
Foi contando objetos com outros objetos que a humanidade começou a construir o conceito de número.
Para o homem primitivo o número cinco, por exemplo, sempre estaria ligado a alguma coisa concreta: cinco dedos, cinco peixes, cinco bastões, cinco animais, e assim por diante.
A idéia de contagem estava relacionada com os dedos da mão. Assim, ao contar as ovelhas, o pastor separava as pedras em grupos de cinco. Do mesmo modo os caçadores contavam os animais abatidos, traçando riscos na madeira ou fazendo nós em uma corda, também de cinco em cinco.
Para nós, hoje, o número cinco representa a propriedade comum de infinitas coleções de objetos: representa a quantidade de elementos de um conjunto, não importando se trata de cinco bolas, cinco skates, cinco discos ou cinco aparelhos de som.
É por isso que esse número, que surgiu quando o homem contava objetos usando outros objetos, é um número concreto.

De acordo com o site: http://www.hmat.hpg.ig.com.br

Os Números

A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática: grande parte das comparações que o homem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da matemática.

A Linguagem dos Números

Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número. Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha sido retirado ou acrescentado.
O sentido do número, em sua significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, que exige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do número. Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes dos animais. Muitos pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma forma inexplicável, ele pode distinguir dois de três.

O corvo assassinado

Um senhor feudal estava decidido a matar um corvo que tinha feito ninho na torre de seu castelo. Repetidas vezes tentou surpreender o pássaro, mas em vão: quando o homem se aproximava, o corvo voava de seu ninho, colocava-se vigilante no alto de uma árvore próxima, e só voltava à torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois homens entraram na torre, um ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se deixou enganar e, para voltar, esperou que o segundo homem tivesse saído. O estratagema foi repetido nos dias seguintes com dois, três e quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entraram na torre e depois saíram quatro, um atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o trabuco à espera do corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a vida.
As espécies zoológicas com sentido do número são muito poucas (nem mesmo incluem os monos e outros mamíferos). E a percepção de quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance que se pode desprezá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando o homem civilizado precisa distinguir um número ao qual não está habituado, usa conscientemente ou não - para ajudar seu sentido do número - artifícios tais como a comparação, o agrupamento ou a ação de contar. Essa última, especialmente, se tornou parte tão integrante de nossa estrutura mental que os testes sobre nossa percepção numérica direta resultaram decepcionantes. Essas provas concluem que o sentido visual direto do número possuído pelo homem civilizado raras vezes ultrapassa o número quatro, e que o sentido tátil é ainda mais limitado.

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Limitações vêm de longe

Os estudos sobre os povos primitivos fornecem uma notável comprovação desses resultados. Os selvagens que não alcançaram ainda o grau de evolução suficiente para contar com os dedos estão quase completamente desprovidos de toda noção de número. Os habitantes da selva da África do Sul não possuem outras palavras numéricas além de um, dois e muitos, e ainda essas palavras estão desvinculadas que se pode duvidar que os indígenas lhes atribuam um sentido bem claro.
Realmente não há razões para crer que nossos remotos antepassados estivessem mais bem equipados, já que todas as linguagens européias apresentam traços destas antigas limitações: a palavra inglesa thrice, do mesmo modo que a palavra latina ter, possui dois sentidos: "três vezes" e "muito". Há evidente conexão entre as palavras latinas tres (três) e trans (mais além). O mesmo acontece no francês: trois (três) e très (muito).
Como nasceu o conceito de número? Da experiência? Ou, ao contrário, a experiência serviu simplesmente para tornar explícito o que já existia em estado latente na mente do homem primitivo? Eis aqui um tema apaixonante para discussão filosófica.
Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais pelo estado mental das tribos selvagens atuais, é impossível deixar de concluir que sua iniciação matemática foi extremamente modesta. Um sentido rudimentar de número, de alcance não maior que o de certos pássaros, foi o núcleo do qual nasceu nossa concepção de número. Reduzido à percepção direta do número, o homem não teria avançado mais que o corvo assassinado pelo senhor feudal. Todavia, através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a completar sua percepção limitada de número com um artifício que estava destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a operação de contar, e é a ele que devemos o progresso da humanidade.

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O número sem contagem

Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível chegar a uma idéia clara e lógica de número sem recorrer à contagem. Entrando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o das poltronas da sala e o dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar se esses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Com efeito, se cada assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos sem contar que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais pessoas que poltronas.
Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemática, e que recebeu o nome de correspondência biunívoca. Esta consiste em atribuir a cada objeto de um conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou ambos os conjuntos se esgotem.
A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz precisamente a tais associações de idéias. Eles registram o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento na origem da palavra "cálculo", da palavra latina calculus, que significa pedra.

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A idéia de correspondência

A correspondência biunívoca resume-se numa operação de "fazer corresponder". Pode-se dizer que a contagem se realiza fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), um número que pertence à sucessão natural: 1,2,3...
A gente aponta para um objeto e diz: um; aponta para outro e diz: dois; e assim sucessivamente até esgotar os objetos da coleção; se o último número pronunciado for oito, dizemos que a coleção tem oito objetos e é um conjunto finito. Mas o homem de hoje, mesmo com conhecimento precário de matemática, começaria a sucessão numérica não pelo um, mas por zero, e escreveria 0,1,2,3,4...
A criação de um símbolo para representar o "nada" constitui um dos atos mais audaciosos da história do pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da era cristã) e foi devida às exigências da numeração escrita. O zero não só permite escrever mais simplesmente os números, como também efetuar as operações. Imagine o leitor - fazer uma divisão ou multiplicação em números romanos! E, no entanto, antes ainda dos romanos, tinha florescido a civilização grega, onde viveram alguns dos maiores matemáticos de todos os tempos; e nossa numeração é muito posterior a todos eles.

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Do relativo ao absoluto

Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca só pode fornecer um meio de relacionar, por comparação, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das pedras empilhadas), sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da palavra. Contudo, a transição do relativo ao absoluto não é difícil.
Criando conjuntos modelos, tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo cada um deles caracterizar um agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto fica reduzida à seleção, entre os conjuntos modelos, daquele que possa ser posto em correspondência biunívoca com o conjunto dado.
Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o número três, as patas do cavalo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de que essa poderia ser a origem dos números se encontram em vários idiomas primitivos.
É claro que uma vez criado e adotado, o número se desliga do objeto que o representava originalmente, a conexão entre os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo ou um símbolo. À medida que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem, o som das palavras que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as quais foi criado. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a forma abstrata dos nomes dos números. É impossível saber a idade dessa linguagem numérica falada, mas sem dúvida ela precedeu de vários milhões de anos a aparição da escrita.
Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foram perdidos, com a possível exceção de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A explicação para isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os dias de sua criação, revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos lingüísticos, os nomes dos objetos concretos que lhes deram nascimento sofreram uma metamorfose completa.

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Número Negativo

Os matemáticos chineses da antiguidade, tratavam os números como excessos ou faltas. Os chineses realizavam cálculos em tabuleiros, onde representavam os excessos com palitos vermelhos e as faltas com palitos pretos.
Na Índia, os matemáticos também trabalhavam com esses estranhos números. Brahmagupta, matemático nascido no ano 598 d.C., afirmava que os números podem ser entendidos como pertences ou dívidas.
Mas, sem símbolos próprios para que se pudessem realizar as operações, os números absurdos, como eram chamados, não conseguiam se firmar como verdadeiros números...
Depois de várias tentativas frustradas, os matemáticos conseguiram encontrar um símbolo que permitisse operar com esse novo número.
Mas como a história da matemática é cheia de surpresas, não poderia de faltar mais uma: Ao observar a prática adotada pelos comerciantes da época, os matemáticos verificaram que se no início do dia, um comerciante tinha em seu armazém duas sacas de feijão de 10 quilogramas cada, se ao findar o dia ele tivesse vendido 7 quilogramas de feijão, para não se esquecer de que naquele saco faltavam 7 quilogramas, ele escrevia o número 7 com um tracinho na frente (-7). Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 3 quilogramas que restavam, escrevia o número 3 com dois tracinhos cruzados na frente (+3), para se lembrar que naquele saco havia 3 quilogramas a mais de feijão do que a quantidade inicial.
Os matemáticos aproveitaram-se desse expediente e criaram o número com sinal: Positivo (+) ou Negativo (-).

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Zero

Como surgiu o zero? Para responder essa questão é necessário saber que os hindus foram os criadores do sistema de numeração posicional e que muitos cálculos efetuados por eles eram realizados com a ajuda de um ábaco, instrumento que para a época poderia ser considerado uma verdadeira máquina de calcular.
O ábaco usado inicialmente pelos hindus, consistia em meros sulcos feitos na areia, onde se colocavam pedras. Cada sulco representava uma ordem. Assim, da direita para a esquerda, o primeiro sulco representava as unidades; o segundo as dezenas e o terceiro as centenas. No exemplo acima temos a representação do número 203, ou seja, 2 centenas mais três unidades.
O Sulco vazio do ábaco, indica que não existe nenhuma dezena. Mas na hora de escrever o número faltava um símbolo que indicasse a inexistência de dezenas.
E, foi exatamente isso que fizeram os hindus, eles criaram o tão desejado símbolo para representar o sulco vazio e o chamaram de Sunya (vazio). Dessa forma, para escrever o número representado no ábaco de areia, escreviam o 2 para as centenas, o 3 para as unidades e entre eles faziam o desenho do sulco vazio, para indicar que não havia no número nenhuma dezena.
Ao introduzir o desenho do sulco vazio entre os dois outros símbolos os hindus criaram o zero que, desde aquela época já se parecia com o que usamos hoje.

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Zero é um número

Se a é um número, o sucessor de a é um número.
Zero não é o sucessor de um número.
Dois números cujos sucessores são iguais são eles próprios iguais.
Se um conjunto S de números contém o zero e também o sucessor de todo número de S, então todo número está em S.
Em 1888, introduziu a definição axiomática de espaço vetorial, chamando de sistemas lineares. Os axiomas de Peano foram formulados pela primeira vez em 1889 na Arithmetices Principia nova methodo exposita, que representava a tentativa de reduzir a aritmética comum a puro simbolismo formal. Peano exprimia os postulados em símbolos, em vez das palavras que usamos. O método postulacional atingiu novo nível de precisão, sem ambigüidade de sentido e sem hipóteses ocultas. Ele também desenvolveu a lógica simbólica.
Em 1890, Peano mostrou que a matemática podia surpreender o senso comum quando construiu curvas continuas que enchem o espaço - isto é, curvas dadas por equações paramétricas x = f(t), y = g(t), onde f e g são funções reais contínuas no intervalo entre zero e um, cujos pontos preenchem completamente o quadrado unitário de que x está entre zero e um e y está entre zero e um. Esse paradoxo combina perfeitamente com a descoberta de Cantor de que não há mais pontos no quadrado unitário que no segmento de reta unitário. Porém, em 1903, Peano se distraiu com a invenção da linguagem internacional que ele chamou Interlíngua ou Latino sine flexione, com vocabulário tirado do latim, francês, inglês e alemão. Esse movimento foi mais efêmero que sua estrutura axiomática da aritmética.
No final do século XIX, com a aritmetização da análise e os axiomas de Peano, a maior parte da matemática conseguiu base estritamente axiomática. Peano foi um dos precursores do logicismo cuja expressão definitiva é a monumental obra Principia Mathematica de Whitchead e Russell.
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Origem dos Números Irracionais

A origem histórica da necessidade de criação dos números irracionais está intimamente ligada com fatos de natureza geométrica e de natureza aritemética. Os de natureza geométrica podem ser ilustrados com o problema da medida da diagonal do quadrado quando a comparamos com o seu lado.
Este problema geométrico arrasta outro de natureza aritemética, que consiste na impossibilidade de encontrar números conhecidos - racionais - para raízes quadradas de outros números, como por exemplo, raiz quadrada de 2. Estes problemas já eram conhecidos da Escola Pitagórica (séc. V a.c.), que considerava os irracionais heréticos.
A Ciência grega consegui um aprofundamento de toda a teoria dos números racionais, por via geométrica - "Elementos de Euclides" - mas não avançou, por razões essencialmente filosóficas, no campo do conceito de número.
Para os gregos, toda a figura geométrica era formada por um número finito de pontos, sendo estes concebidos como minúsculos corpúsculos - "as mónadas" - todos iguais entre si; daí resultava que, ao medir um comprimento de n mónadas com outro de m, essa medida seria sempre representada por uma razão entre dois inteiros n/m (número racional); tal comprimento incluía-se, então na categoria dos comensuráveis.
Ao encontrar os irracionais, aos quais não conseguem dar forma de fração, os matemáticos gregos são levados a conceber grandezas incomensuráveis.
A reta onde se marcavam todos os racionais era, para eles, perfeitamente contínua; admitir os irracionais era imagina-la cheia de "buracos". É no séc. XVII, com a criação da Geometria Analítica (Fermat e Descartes), que se estabelece a simbiose do geométrico com o algébrico, favorecendo o tratamento aritmético do comensurável e do incomensurável. Newton (1642-1727) define pela primeira vez "número", tanto racional como irracional.

O IRRACIONAL ø

ø =1,6180339887... ou ø =(1 + sqr(5))/2 é considerado símbolo de harmonia. Os artistas gregos usavam-no em arquitetura; Leonardo da Vinci, nos seus trabalhos artísticos; e, no mundo moderno, o arquiteto Le Corbusier, com base nele, apresentou, em 1948, O modulor. O número de ouro descobre-se em relações métricas:

  • na natureza: em animais (como na concha do Nautilus) flores, frutos, na disposição dos ramos de certas árvores;
  • em figuras geométricas, tais como o retângulo de ouro, hexágono e decágono regulares e poliedros regulares;
  • em inúmeros monumentos, desde a Pirâmide de Quéops até diversas catedrais, na escultura, pintura e até na música.

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Origem dos sinais

Adição ( + ) e subtração ( - )

O emprego regular do sinal + (mais) aparece na Aritmética Comercial de João Widman d'Eger publicada em Leipzig em 1489.Entretanto, representavam não à adição ou à subtração ou aos números positivos ou negativos, mas aos excessos e aos déficit em problemas de negócio. Os símbolos positivos e negativos vieram somente ter uso geral na Inglaterra depois que foram usados por Robert Recorde em 1557.Os símbolos positivos e negativos foram usados antes de aparecerem na escrita. Por exemplo: foram pintados em tambores para indicar se os tambores estavam cheios ou não.
Os antigos matemáticos gregos, como se observa na obra de Diofanto, limitavam-se a indicar a adição juntapondo as parcelas - sistema que ainda hoje adotamos quando queremos indicar a soma de um número inteiro com uma fração. Como sinal de operação mais usavam os algebristas italianos a letra P, inicial da palavra latina plus.

Multiplicação ( . ) e divisão ( : )

O sinal de X, como que indicamos a multiplicação, é relativamente moderno. O matemático inglês Guilherme Oughtred empregou-o pela primeira vez, no livro Clavis Matematicae publicado em 1631. Ainda nesse mesmo ano, Harriot, para indicar também o produto a efetuar, colocava um ponto entre os fatores. Em 1637, Descartes já se limitava a escrever os fatores justapostos, indicando, desse modo abreviado, um produto qualquer. Na obra de Leibniz escontra-se o sinal para indicar multiplicação: esse mesmo símbolo colocado de modo inverso indicava a divisão. O ponto foi introduzido como um símbolo para a multiplicação por G. W. Leibniz. Julho em 29, 1698, escreveu em uma carta a John Bernoulli: "eu não gosto de X como um símbolo para a multiplicação, porque é confundida facilmente com x; freqüentemente eu relaciono o produto entre duas quantidades por um ponto . Daí, ao designar a relação uso não um ponto mas dois pontos, que eu uso também para a divisão."
As formas a/b e, indicando a divisão de a por b, são atribuídas aos árabes: Oughtred, e, 1631, colocava um ponto entre o dividendo o divisor. A razão entre duas quantidades é indicada pelo sinal :, que apareceu em 1657 numa obra de Oughtred. O sinal ÷, segundo Rouse Ball, resultou de uma combinação de dois sinais existentes - e:

Sinais de relação ( =, <> )

Robert Recorde, matemático inglês, terá sempre o seu nome apontado na história da Matemática por ter sido o primeiro a empregar o sinal = (igual) para indicar igualdade. No seu primeiro livro, publicado em 1540, Record colocava o símbolo entre duas expressões iguais; o sinal = ; constituído por dois pequenos traços paralelos, só apareceu em 1557. Comentam alguns autores que nos manuscritos da Idade Média o sinal = aparece como uma abreviatura da palavra est.
Guilherme Xulander, matemático alemão, indicava a igualdade , em fins do século XVI, por dois pequenos traços paralelos verticais; até então a palavra aequalis aparecia, por extenso, ligando os dois membros da igualdade.
Os sinais > (maior que) e < (menor que) são devidos a Thomaz Harriot, que muito contribuiu com seus trabalhos para o desenvolvimento da análise algébrica.
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Sistema Chinês

Os caracteres tradicionais do sistema numérico chinês são esses:



Esses símbolos são ainda usuais tanto na China como no Japão, mas para os cálculos eles utilizam o sistema indo-arábico.
Como todo sistema de numeração, este também tem as suas regras. Observe os exemplos a seguir:

a) 234 b) 167 c) 5154


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Sistema Mesopotâmico

Nas escavações arqueológicas realizadas nas cidades da Mesopotâmia foram encontrados milhares de placas de barro, contendo numerosas inscrições. Em algumas delas, os registros referiam-se a números.
Usando um bastonete, os escribas da Mesopotâmia escreviam sobre estas placas, com o barro ainda mole. Depois, elas eram cozidas no fogo ou apenas secas ao sol.
No sistema numérico da Mesopotâmia, a unidade era representada pelo sinal representado por um cravo de ponta cabeça, parecido com uma cunha. Os números de um a nove eram escritos utilizando tantos cravos fossem necessários pra igualar o número de cravos ao número que deveria ser representado.
Para escrever dez, eles usavam o mesmo símbolo, porém em posição horizontal.
A numeração dos mesopotâmicos é de base 60, porém esse sistema é muito confuso, pois qualquer representação menos cuidadosa, que não espaçasse devidamente os sinais, certamente causaria confusão.
As antigas civilizações da Mesopotâmia desapareceram e, com elas, o seu sistema numérico. Entretanto, alguns vestígios nos acompanham até os dias de hoje. Na contagem do tempo, sessenta segundos compõem um minuto e sessenta minutos compõem uma hora. Esta contagem por grupos de sessenta é devida à base sessenta da numeração mesopotâmica.
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Pi: o Número

Os egípcios sabiam trabalhar muito bem com razões. Descobriram logo que a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro é a mesma para qualquer circunferência, e oseu valor é um número "um pouquinho maior que 3".
É essa razão que hoje chamamos pi.
Considerando c o comprimento de uma circunferência e d o diâmetro, temos:
c/d = pi
c = pi . d
O cálculo do valor exato de pi ocupou os matemáticos por muitos séculos.
Para chegar ao valor de pi exprsso por 3 1/6, que é aproximadamente 3,16, os egípcios há 3 500 anos partiram de um quadrado inscrito em uma circunferência, cujo lado media 9 unidades. Dobraram os lados do quadrado para obter um polígono de 8 lados e calcularam a razão entre os perímetros dos octógonos inscrito e circunscrito e o diâmetro da circunferência.
Os egípcios conseguiram uma aproximação melhor que a dos babilônios, para os quais "o comprimento de qualquer circunferência era o triplo de seu diâmetro", o que indicava o valor 3 para pi.
Por volta do século III a.C., Arquimedes - o mais famoso matemático da Antiguidade, que viveu e morreu em Siracusa, na Grécia - também procurou calcular a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro.
Começando com um hexágono regular, Arquimedes calculou os perímetros dos polígonos obtidos dobrando sucessivamente o número de lados até chegar a um polígono de 96 lados.
Calculando o perímetro desse polígono de 96 lados, conseguiu para pi um valor entre 3 10/71 e 3 10/70. Ou seja, para Arquimedes pi era um número entre 3,1408 e 3,1428.
Com um polígono de 720 lados inscrito numa circunferência de 60 unidades de raio, Ptolomeu, que viveu em Alexandria, no Egito, por volta do século III d.C., conseguiu calcular o valor de pi como sendo 377/120, que é aproximadamente igual a 3,1416, uma aproximação ainda melhor que a de Arquimedes.
O fascínio pelo cálculo do valor exato de pi também tomou conta dos chineses. No século III d.C., Liu Hui, um copiador de livros, conseguiu obter o valor 3,14159 com um polígono de 3 072 lados.
Mas no fim do século V, o matemático Tsu Ch'ung-chih foi mais longe ainda: encontrou como valor de pi um número entre 3,1415926 e 3,1415927.
Nesta época, o grande matemático hindu Aryabhata deixou registrada esta afirmação num pequeno livro escrito em versos:
"Some-se 4 a 100, multiplique-se por 8 e some-se 62 000. O resultado é aproximadamente uma circunferência de diâmetro 20 000".
Se você recordar que o comprimento de uma circunferência é dado por c = pi . d, fica fácil entender que a solução da equação de Aryabhata:

(4 + 100) . 8 + 62 000 = pi . 20 000
104 . 8 + 62 000 = pi . 20 000
832 + 62 000 = pi . 20 000
62 832 = pi . 20 000
62 832/20 000 = pi
indica como valor de pi 3,1416.
62 832/ 20 000= 3,1416

Quanto maior o número de casas decimais, melhor é a aproximação que se obtém para pi.
Até o século XV, o melhor valor para pi havia sido encontrado pelo matemático árabe al-Kashi: 3,1415926534897932.
Mas o cálculo mais impressionante foi efetuado pelo matemático holândes Ludolph van Ceulen (1540-1610) no final do século XVI.
Começando com um polígono de 15 lados e dobrando o número de lados 37 vezes, Ceulen obteve um valor para pi com 20 casas decimais.
Logo em seguida, usando um número de lados ainda maior, ele conseguiu uma aproximação com 35 casas decimais!
Tamanha deve ter sido a emoção de Van Ceulen que, na sua morte, sua esposa mandou gravar no túmulo o valor de pi com as 35 casas decimais.
Imagine como ele se sentiria se viesse a saber que no século XX computadores calculariam, em segundos, o valor de pi com 100, 1000, 10 000, milhões de casas decimais!

Pi = 3,14159265358979323846264 33832795028841971693993751058 20974944592307816406286208998 62803482534211706798214808651 32823066470938446095505822317 253594081128481117450284102701 93852110555964462294895493038 19644288109756659334461284756 48233786783165271201909145648 5669234603486104543266482...

Muitos dos símbolos matemáticos que usamos atualmente devemos ao matemático suíço Leonhard Euller (1707-1783).
Foi Euller quem, em 1737, tornou conhecido o símbolo para o número pi. Foi também nesta época que os matemáticos conseguiram demonstrar que é um número irracional.

De acordo com o site: www.hmat.hpg.ig.com.br

História dos Problemas

Desde os tempos mais remotos os textos de matemática incluem problemas para os leitores resolverem.
Os textos mais antigos como os Egípcios, os Babilônios e os Chineses eram compostos por uma lista de problemas cujas soluções eram depois fornecidas. Por exemplo, o mais antigo destes textos, de origem egípcia, conhecido por Papiro de Rhind contém uma colecção de 85 problemas.
Os problemas eram escolhidos como uma forma de ensinar, ao leitor, a matemática, sendo muitas vezes colocados por grau de dificuldades; por outro lado estes problemas refletem, muitas vezes, as necessidades das sociedades, os diferentes aspectos da vida quotidiana, etc.
Livros com problemas matemáticos apareceram em todas as civilizações, ao longo da história até aos nossos dias. Espantosamente, o mesmo problema aparece em textos de civilizações diferentes e em diferentes períodos da história.
A matemática é a ciência dos números e dos cálculos. Desde a antiguidade, o homem utiliza a matemática para facilitar a vida e organizar a sociedade. A matemática foi usada pelos egípcios nas construção de pirâmides, diques, canais de irrigação e estudos de astronomia. Os gregos antigos também desenvolveram vários conceitos matemáticos. Atualmente, esta ciência está presente em várias áreas da sociedade como, por exemplo, arquitetura, informática, medicina, física, química etc. Podemos dizer, que em tudo que olhamos existe a matemática.
De acordo com a página: http://www.suapesquisa.com/matematica

Pitágoras

Filósofo grego 582 a.C. - 497 a.C.)

Pitágoras nasceu na ilha de Samos, no mar Egeu, e é provável que tenha viajado pela Ásia Menor e pelo Egito, como fizeram muitos filósofos gregos. Supõe-se também que tenha sido aluno de Tales. Há registro, porém, de que se mudou para o sul da Itália com cerca de 50 anos de idade. Na época, essa região era parte do mundo grego, e ali Pitágoras fundaria um núcleo de estudos.
Os ensinamentos veiculados nessa escola eram tidos pelos participantes como bastante preciosos e, por isso, os encontros de estudo eram mantidos em segredo. Supõe-se que abarcassem diversos aspectos do conhecimento, da filosofia à Matemática e Astronomia. É sensato crermos, também, que grande parte desses ensinamentos tenham se perdidos ou desvirtuado ao serem retransmitidos. O que se sabe é que as atividades do grupo geraram desconfianças, e Pitágoras precisou fugir da região na última década da sua vida.
No campo da Astronomia, Pitágoras foi o primeiro a afirmar, no mundo grego, que a Terra era esférica. Para ele, o sol, a Lua e os planetas apresentavam órbitas próprias. Isso lhe permitia concluir que esses astros não se situavam à mesma distância que as estrelas, mas que cada um deles estava situado numa camada esférica mais próxima. No centro dessas camadas concêntricas estaria a Terra.
À Pitágoras são ainda atribuídas várias descobertas sobre as propriedades dos números inteiros, a construção de figuras geométricas e a demonstração do teorema que leva seu nome (cujo enunciado já era conhecido pelos babilônios). Os próprios termos Filosofia (amor a sabedoria) e Matemática (o que é aprendido) seriam criações de Pitágoras para descrever suas atividades intelectuais.
Os membros da Escola Pitagórica recebiam uma educação formal, onde constavam quatro disciplinas: Geometria, Aritmética, Astronomia e Música, que constituíram as artes liberais e cujo conteúdo tornou-se conhecido na Idade Média como o Quadrivum, que era considerado a bagagem cultural necessária de uma pessoa bem educada. Os pitagóricos elevaram a matemática à categoria das ciências liberais, isto é, tornaram-na independente das necessidades práticas e a transformaram em uma atividade puramente intelectual.
Na filosofia pitagórica afirmava-se que Tudo é número, ou seja, na concepção cosmogônica dos primeiros pitagóricos, a extensão era descontínua, constituída de unidades indivisíveis separadas por um intervalo. Esta idéia provinha do estudo dos números naturais, quando aplicada aos objetos geométricos requeria que todas as medidas pudessem ser expressas na forma de razão de inteiros, isto é, pudessem ser mensuradas, tendo por base um segmento fixado como unitário. Mas eles notaram que a diagonal de um quadrado cujos lados medem uma unidade igual a raiz de dois e que este número é incomensurável (hoje chamamos de números irracionais esses números). Esta descoberta foi recebida com grande consternação pelos pitagóricos, pois em certo sentido contrariava as crenças da escola e seria uma imperfeição da divindade.
No estudo de sons musicais em cordas esticadas (com a mesma tensão relativa), descobriram as regras que relacionavam a altura da nota emitida com o comprimento da corda, concluindo que as relações que produziam sons harmoniosos seguiam a proporção dos números inteiros simples do tipo 1/2, 2/3, 3/4, etc.. Assim, Pitágoras concluiu que havia uma música que representava as relações numéricas da natureza e que constituía sua harmonia interior.
Entre as descobertas sobre a matemática atribuídas aos pitagóricos podemos citar:

  • a classificação dos números em: primos e compostos, pares e ímpares, amigos, perfeitos e figurados;
  • o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum;
  • que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a dois ângulos retos;
  • se um polígono tem n lados, então a soma dos ângulos internos do polígono é igual a (2n - 4) ângulos retos;

Também desenvolveram métodos geométricos para demonstrar diversas identidades algébricas e estudaram os sólidos regulares: tetraedro, o cubo e o dodecaedro.
O símbolo que representava os pitagóricos era o pentagrama ou pentágono estrelado, isto devido às propriedades desta figura, pois ao desenharmos um pentágono regular e traçarmos as suas diagonais, veremos que elas se cruzam e formam um novo pentágono interior ao anterior. A interseção de duas diagonais divide a diagonal de uma forma especial chamada pelos gregos de divisão em média e extrema razão e que conhecemos também como secção áurea.

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Aristóteles

Filósofo grego (384 a.C. - 322 a.C.)

Nascido no reino da Macedônia (norte da Grécia), Aristóteles mudou-se para Atenas aos 17 anos, onde estudou sob a orientação de um dos mais famosos filósofos de todos os tempos: Platão.
A escola dirigida por Platão denominava-se Academia, e Aristóteles nela permaneceu por cerca de vinte anos. Com a morte do mestre, preferiu deixá-la, dizendo-se insatisfeito com a pouca importância que ali vinha sendo dada ao estudo da natureza.
Viajou então por várias parte do mundo grego, que na época era bem mais vasto do que hoje, alcançando, entre outras regiões, o sul da Itália e a Ásia Menor. Foi nesta última região que Aristóteles se fixou por alguns anos. Ali ele se casou e pôde se dedicar a seus estudos preferidos, até ser chamado de volta à sua terra natal.
O novo rei da Macedônia queria que ele cuidasse da educação do seu filho masi velho, tarefa que Aristóteles desempenhou por muitos anos. Só deixou a Macedônia quando seu aluno já tinha sido aclamado rei. Futuramente, ele passaria à história como Alexandre, o Grande, devido a suas conquistas territoriais, que incluiriam não só a própria Atenas, mas também a Pérsia.
Retornando a Atenas, Aristóteles criou sua própria escola, chamada Liceu, além de organizar uma biblioteca de manuscritos.
Quando Alexandre morreu, Aristóteles achou mais prudente deixar a cidade. Temia uma reação dos macedônios contra ele, pois chegou a ser acusado de ofensa religiosa, o que poderia levá-lo a ser condenado à morte (tal como já ocorrera com o ateniense Sócrates meio século antes). Vivendo numa ilha do Mar Egeu, morreria apenas um ano mais tarde.
Os escritos de Aristóteles perfazem grande número de volumes (consta que 150, aproximadamente) e versam sobre assuntos variados: da ciência, política e ética à crítica literária. Desses trabalhos, cerca de dois terços desapareceram. Mesmo os que chegaram até nós ficaram perdidos por séculos, por vezez em mais de uma ocasião. Muitos deles só atravessariam a Idade Média traduzidos para o árabe.
Em seus estudos da natureza, Aritóteles dedicou especial atenção aos seres vivos. Chegou a fazer dissecções em algumas dezenas de espécies animais, classificando cerca de 500 delas de acordo com suas semelhanças e diferenças. Foi o primeiro a considerar que o golfinho não era um peixe, pois possuía placenta, como os mamíferos terrestres. Tal descoberta, porém, seria negada nos séculos seguintes.
Seus critérios de classificação, embora fossem-como era de se esperar-diferentes dos nossos, levaram-no a concluir que haveria na natureza uma hierarquia determinada por modificação nos seres vivos. Só Charles Darwin, em pleno século XIX, voltaria a trabalhar com uma idéia, vigente em sua época, de que tudo na natureza se compunha de quatro elementos - ar, água, fogo, e terra -, mas a eles acrescentou um quinto elemento - o éter -, que formaria o espaço celeste. Concordou também com a idéia dos discípulos de Pitágoras de que a Terra e o céu seriam regidos por diferentes conjuntos de leis, pelas quais a Terra seria mutável e o lugar "natural": a terra ficaria embaixo; sobre ela viria a água, depois o ar e por último, o fogo, que ficaria acima de todos esses elementos.
Por causa dessa ordem "natural", uma pedra (composta principalmente pelo elemento terra) lançada no ar afundaria na água, uma bolha de ar subiria num líquido e o fogo procuraria sempre alcançar o ponto mais alto possível. Isso levou Aristóteles a concluir que, quanto mais pesado um objeto, mais rápido ele desceria e, portanto, os corpos pesados cairiam mais rapidamente que os leves (somente 2000 anos depois Stevin, Galileu e Pascal provariam que essa idéia era falsa).
Para Aristóteles, suas conclusões eram verdadeiras, porque se podia chegar a elas através da argumentação lógica. Apesar de todas as observações que fez, ele considerava que a discussão produzia conclusões mais verdadeiras que os fatos constatados através de experimentos.
De fato, Aristóteles pode ser considerado o criador do estudo da Lógica e seu livro Organon, que trata desse tema, foi o único, dentre toda a sua obra, a continuar sendo estudado na Europa após a queda do Império Romano. Os séculos seguintes não só esqueceriam as contribuições de Aristóteles ao conhecimento da natureza como também viriam a utilizar o que restou de seu trabalho para argumentar contra idéias e descobertas que as novas mentes procurariam divulgar.
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Galileu

Astrônomo e físico italiano (1564 - 1642)

Quando era ainda estudante de Medicina na Universidade de Pisa (curso que cumpria para atender ao desejo de seu pai), Galileu Galilei acompanhou, por acaso, uma palestra sobre Geometria. Ficou tão interessado que começou a ler livros de Arquimedes sobre esse assunto e até convenceu o pai a deixá-lo trocar de carreira. Mais tarde, nas experiências científicas que viria a realizar, ficaria visível seu empenho em traduzir os fenômenos físicos em termos quatitativos (ou seja, em medidas) e em descobrir as relações matemáticas que os descrevessem de maneira mais simples.
Ainda estudante, com 17 anos, ele constatou, ao observar um lustre oscilando na catedral, que os períodos de oscilação eram constantes, não dependendo da amplitude do movimento. Para confirmar sua descoberta, construiu dois pêndulos iguais e os pôs em movimento, com amplitudes diferentes.
Ambos se moveram com o mesmo período, demonstrando que sua observação era correta e válida para qualquer pêndulo. (É interessante saber que desprovido de relógios adequados para efetuar as medições, Galileu recorreu a suas próprias pulsações cardíacas. Só após sua morte é que o holandês Christiaan Huygens criaria um relógio suficiente preciso, baseado, aliás, nas propriedades do pêndulo detectadas por Galileu.)
Na época, aceitava-se a idéia de Aristóteles de que a velocidade de queda de um corpo era proporcional ao seu peso: corpos mais pesados cairiam mais rapidamente que os mais leves. Galileu demonstrou que os objetos leves eram apenas retardados pela resistência do ar; na queda de diferentes objetos pesados e compactos, não havia diferença de velocidade. Isso o fez supor que, no vácuo, todos os corpos, não importando seu peso ou forma, cairiam com velocidades iguais. (Isto só pôde ser demonstrado experimentalmente bem mais tarde, pelo inglês Robert Boyle, quando já se conseguia produzir um vácuo mais perfeito.)
Diz-se que Galileu subia na torre inclinada de Pisa para demonstrar esse fenômeno, fazendo cair duas bolas de canhão, mas ele não deixou qualquer descrição dessa experiência. O que existe, isto sim, é o registro dos experimentos com o plano inclinado (ele fazia rolar objetos por um plano inclinado), que lhe permitiram demonstrar, com medições mais precisas, a igualdade dos tempos de queda. Esse artifício também lhe permitiu concluir que a velocidade de queda aumenta constantemente (ou seja, que a queda é um movimento uniformemente variado).
Das idéias deixadas por Galileu, provavelmente a mais famosa foi seu conceito de inércia. Segundo ele, a inércia seria a tendência dos corpos a se manterem em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme, razão pela qual um objeto situado na superfície não é deixado para trás enquanto o planeta se move e pela qual a trajetória de um corpo (por exemplo, uma seta disparada de um arco) não parece ser afetada pelo movimento terrestre.
As diversas descobertas de Galileu formaram uma base para a ciência da Mecânica, que frutificaria plenamente no trabalhos de Newton, no século seguinte. Essa progressão de idéias ajudou a estabelecer em ciência um tipo de visão chamado "mecanicista": todos os fenômenos poderiam ser analisados em termos mais simples, como se fossem compostos de alavancas, roldanas, engrenagens e forças mesuráveis a impulsioná-los. (Tal visão permaneceria imbatível até o início do século XX.)
Galileu é, porém, até hoje amplamente lembrado pela maneira como escapou de ser condenado à fogueira. Suas descobertas vinham levando-o a discordar cada vez mais da idéias de Aristóteles, então amplamente aceitas, de que o mundo celeste era perfeito e imutável. Além disso, seu freqüente posicionamento contrário às idéias convencionais, bem como o hábito de ironizar seus opositores, fez com que granjeasse grande número de inimizades, até que foi obrigado a se mudar para Pádua. (Esta cidade pertencia então a outra nação: a República de Veneza. Pisa ficava no Reino da toscana. A Itália, tal qual a conhecemos hoje, só seria formado no século XIX.)
Foi em Pádua que Galileu construiu seus telescópios, com base em informações sobre instrumentos semelhantes inventados na Holanda, mas que eram utilizados como microscópios. Ao utilizá-los para observar o céu, Galileu faria constatações irreversíveis sobre a própria ordem do universo: a lua mostrava ter superfície rugosa, com montanhas e crateras, o que contrariava a perfeição que se atribuía aos corpos celestes; o sol apresentava manchas e girava, conforme o deslocamento dessas manchas permitia ver; a Via Láctea, até então vista apenas como uma região mais luminosa no céu, revelava conter milhares de estrelas; Vênus tinha fases variáveis, como a Lua; quanto júpiter, apresentava quatro outros corpos que giravam ao seu redor (e não em torno da terra!). Era a prova de que o universo não estava organizado conforme a versão oficial da Igreja. Ao que se via, ele podia até mesmo ser infinito.
Essas descobertas foram divulgadas numa publicação periódica chamada Sidereus nuntius [O mensageiros das estrelas], alcançando estudiosos em diversas partes da Europa. Galileu também prosseguiu com a fabricação de telescópios, enviando-os a vários países (Um esmplar chegaria a Kepler, que então vivia em Praga). Recebeu um convite para trabalhar em Veneza, o que era extremamente lisonjeiro, mas acabou optando por outro, não menos importante, de Florença.
Num novo livro, chegou a tocar em temas teológicos e, com isso, provocou a ira dos mais conservadores, que levaram o papa Pio V a declarar a teoria heliocêntrica de Copérnico, base de todo o trabalho, como heresia. Isso forçou Galileu a um silêncio que se estenderia por mais de uma década, Em 1632, já no pontificado de um novo papa, Urbano VIII, acreditou poder publicar, sem maiores problemas, seu livro Dialogo dei massimi sistemi [Diálogo sobre os grandes sistemas do universo], no qual duas personagens conversam uma defendendo as antigas teorias, outra as de Copénico.
Pelo conteúdo dessa obra, Galileu foi levado a julgamento no tribunal da Santa Inquisição (organização encarregada de punir os que se desviassem das normas de conduta admitidas pela igreja Católica). Em 1633, com quase 70 anos, foi obrigado a negar suas idéias, sob pena de ser queimado vivo. Conta-se que, após declarar-se arrependido, teria virado o rosto de lado e murmurado em voz baixa: "Eppur si muove!", frase cujo significado pode ser facilmente deduzido: "Mas, aesar disso tudo, a verdade é que ela se move!".
Na última década do século XX, a Igreja Católica se pronunciou oficialmente, reconsiderando o julgamento de Galileu e admitindo ter feito uma condenação injusta.
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Platão

Filósofo grego (427 a.C. - 347 a.C.)

Quando o filósofo Sócrates foi condenado à morte, em 399 a. C., pelo governo de Atenas ( sob a acusação de "perverter a juventude" com seus ensinamentos filosóficos), Platão, que era seu discípulo, preferiu deixar a cidade. Passou então alguns anos percorrendo outras partes do mundo grego, desde o norte da África até a Itália, e nessas andanças tomou contato com os ensinamentos pitagóricos. Com 40 anos, retornou a Atenas e dedicou-se inteiramente à filosofia, fundando uma escola chamada "Academia".
Sua obra filosófica está escrita em forma de diálogos. É nela, inclusive, que estão contidas as idéias de Sócrates (que deixou escritos).
Segundo Platão, os sentidos físicos não nos revelam a verdadeira natureza das coisas. Por exemplo, ao observamos algo branco ou belo, jamais chegaremos a ver a brancura ou a beleza plenas, embora tragamos, dentro de nós, uma idéia do que elas são. Assim, as únicas coisas de fato permanentes e verdadeiras seriam as idéias. O mundo físico, por sua vez, não passaria de uma cópia imperfeita e mutável delas. Observar o mundo físico (tal como a ciência faz hoje em dia) pouco serviria, portanto, para alcançarmos uma compreensão da realidade, embora servisse para reconhecermos, ou recordamos, as idéias perfeitas que traríamos dentro de nós.
O filósofo reconhecia na Matemática a importância de permitir realizar abstrações, aproximando-se assim do mundo perfeito das idéias. Talvez por isso tenha sido atribuído a ele o conceito dos cinco poliedros "perfeitos" (tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro, também conhecidos como poliedros de Platão), na verdade descritos por Pitágoras mais de cem anos antes. Esses sólidos geométricos expressariam, em suas formas regulares, a perfeição do mundo ideal.
Os corpos celestes, por sua vez, descreveriam circunferências (pois esta seria a curva perfeita) em torno da Terra, mantendo-se em órbita por estarem presos a esferas cristalinas concêntricas.
A Academia, que Platão fundou, se manteve em funcionamento após sua morte, aos 80 anos. Ela só seria fechada oito séculos depois, por ordem do imperador Justiniano. A filosofia platônica, porém, continuaria a ter influência sobre o pensamento da igreja até o século XIII, quando os conceitos de Aristóteles (384 a.C. - c. 322 a.C.) passariam a ser mais dominantes.

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Tales

Filósofo grego (625a.C. - ?)

Os próprios gregos consideraram que Tales foi o mais antigo de seus filósofos, e que teria trazido seus conhecimentos do Egito.
Tales é considerado um dos precusores da ciência, pois substitui as explicações míticas sobre o universo pelas explicações físicas. De seu trabalho, porém, restam apenas fragmentos, além de referências deixadas por outros pensadores.
consta que Tales teria conseguido medir a altura de uma pirâmide egípcia comparando a sombra por ela projetada com a de uma haste vertical. Aplicou, com isso, uma relação matemática existente entre triângulos semelhantes. Analogamente, ele teria medido a distância, à costa, de um navio em alto-mar.
Tales e seus seguidores afirmavam que deveria existir um princípio único, ou substância fundamental, que permanecesse imutável, embora participando dos fenômenos mutáveis do universo. Para eles, essa substância seria a água.
Os astros teriam natureza terrestre, mas seriam todos incandescentes, como o Sol. A Lua, porém - e Tales foi o primeiro a afirmar isso -, seria iluminada pela luz solar, o que permitiria explicar os eclipses lunares. Ele teria também conseguido prever um eclipse solar, de fato ocorrido, segundo cálculos astronômicos atuais, em 585 a.C. Essa previsão teria sido utilizada para atemorizar os exércitos que participavam de uma guerra, fazendo-os suspender uma batalha que se realizaria e firmar um acordo de paz.
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Arquimedes

Matemático e engenheiro grego (287 a.C. - 212 a.C.)

Arquimedes nasceu em Siracusa, cidade localizada no sul da Itália, região então denomida Magna Grécia. Naquela época, a cidade de Alexandria, no norte do Egito, tinha enorme importância como centro cultural, e foi lá que Arquimedes fez seus estudos, tendo como mesre um matemático que fora aluno de Euclides.
Mais tarde, já de volta a Siracusa, propuseram-lhe resolver um problema que atormentava o rei: um ourives havia acabado de confeccionar uma nova coroa, mas ninguém tinha certeza se, em seu interior, ela também continha ouro. O peso da coroa correspondia ao esperado, mas era difícil ter certeza do seu volume. O ourives poderia ter um recheio mais barato, ficando com o ouro restante. A dificuldade é que o rei não permitia que a coroa fosse cortada para a averiguação.
Arquimedes descobriu como proceder ao entrar, certo dia, numa banheira completamente cheia. Evidentemente, ela começou a transbordar,e ele percebeu que o volume total derramado só podia ser igual ao volume do seu próprio corpo. Aí estava o caminho para deterninar o volume da coroa: mergulhá-la em água e medir o vlume do líquido deslocado.
Conhecido esse volume, bastaria compará-lo ao de uma peça de ouro de peso igual ao da coroa. qualquer diferença seria devida a um material diferente no interior do objeto.(Sabemos a conclusão dessas medições, já que o ourives foi condenado a morte.)
Consta que Arquimedes, ao longo de sua vida, teria criado diversas invenções mecânicas, dentre elas: um cilindro oco em forma de caracol que, ao ser posto em rotação, permitia elevar a água; sistemas de lentes (ou espelhos) que incendiavam navios inimigos; guindastes que permitiam virar embarcações e afundá-las. Não há, porém, descrições confiáveis desses inventos. Arquimedes não paarece tê-las deixado. Como era comum em sua época, ele deu maior valor aos aspectos mais intelectuais do conhecimento e os livros que redigiu versaram apenas sobre a Matemética.
É notável, até hoje, o grau de precisão com que esse estudioso calculou o número r: seu valor estaria entre 223/71 e 220/70 (ou seja, praticamente entre 3,141 e 3,142). Essa aproximação é mais que suficiente para as atividades práticas do nosso dia-a-dia e mesmo para grande número de trabalhos de construção e de engenharia.
Arquimedes também analisou o funcinamento da alavanca sob o ponto de vista matemático, demonstrando que o esforço que se aplica a um ponto dela é inversamente proporcional à sua distância até o ponto de apoio. Isso pode ser considerado o início do estudo ciêntíficos da Estática.
O método de fazer a cuidadosa medição de grandezas e relacioná-las matematicamente cairia, porém, em desuso nos dois milênios seguintes a Arquimedes. Suas obras só seriam traduzidas para o latim (a língua intelectual e universitária da Europa) em 1544, no século em que o experimentalismo despertaria a atenção de pessoas como Stevin e Galileu e começaria definitivamente a fazer parte do repertório da ciência.
Arquimedes morreu durante a guerra entre Roma e Cartago (cidade situada no norte da África). O exército romano invadira Siracusa, mas isso não impediu o estudioso de ficar refletindo sobre um problema geométrico que traçava na areia. Teria sido morto po um soldado ao responder-lhe, por se sentir importunado: "Não venha atrapalhar os meus círculos".
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Renè Descartes

Filósofo e matemático francês (1596 - 1650)

René Descartes perdeu a mãe com um ano de idade e sempre apresentou saúde muito frágil, a ponto de ter-lhe sido permitido, na época escolar, permanecer em casa quando necessário. seus biógrafos costumam sugerir que, por esse motivo, ele tenha adquirido o hábito de elaborar e redigir seus trabalhos na cama.
Descartes recebeu sua educação em escolas jesuíticas, o que o fez compreender muito bem a força que a Igreja Católica possuía. Isso o levou a interromper, na época da condenação de Galileu, a escrita de um livro em que defendia as idéias de Copérnico.
Esse episódio não o impediu, porém, de criar, na década seguinte, uma teoria segundo a qual o universo estaria organizado em vórtices em permanente rotação e dentro de cada um estaria localizado um corpo celeste. O vórtice que conteria a Terra estaria em órbita em torno do Sol.
Mais tarde, Descartes deixou a França, transferindo-se para a Holanda, onde a cultura protestante lhe oferecia um ambiente mais propício para desenvolver seu trabalho. Ali permaneceria quase que pelo resto de sua vida.
Descartes tinha uma concepção mecanista do universo: para ele, tudo podia ser descrito como se fosse constituído de componentes mais simples, tais como pontos, distâncias e movimentos. Mesmo ao discorrer sobre o corpo humano, buscou descrevê-lo como um sistema de mecanismos mecânicos. Com uma opinião bastante incomum para época, afirmava que a própria alma estaria situada fora do corpo e que o intercâmbio enre ambos se processara através da glândula pineal, localizada no cérebro.
Na matemática, foi o primeiro a utilizar sistematicamente as letras do alfabeto para representar as constantes, as variáveis e as incógnitas. Também estabeleceu o uso dos expoentes e o símbolo da raiz quadrada.
Conta-se que sua criação mais famosa nesse campo ocorreu (mais uma vez) enquanto se achava na cama e observava uma mosca voando. Deu-se conta, então, de que toda posição ocupada pela mosca podia ser determinada pela intersecção de três planos ortogonais, paralelos às faces do aposento. Isso o levou a desenvolver o sistema de coordenadas que até hoje utilizamos para produzir gráficos bi e tridimensionais.
Esse princípio levou ao desenvolvimento de uma geometria inteiramente baseada nele: a Geometria Analítica. Com isso, pela primeira vez na história da Matemática, conseguia-se integrar totalmente a Álgebra à Geometria, abrindo um novo campo de explorações que teria desdobramentos enormes nos séculos seguintes.
Descartes aceitou, em 1649, um convite para trabalhar na corte da Suécia. O clima desse país não se revelou nada propício a sua saúde, levando-o a morrer de pneumonia durante o primeiro inverno em que ali viveu.
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